最小二乗法の行列表現. 主張1：行列 A A と列ベクトル \overrightarrow {b} b が与えられたときに \|A\overrightarrow {x}-\overrightarrow {b}\| ∥Ax − b ∥ を最小にする \overrightarrow {x} x を求める問題は非常に重要である。 主張2： A^ {\top}A A⊤A が正則のとき上記の問題の解は唯一つである： \overrightarrow {x}= (A^ {\top}A)^ {-1}A^ {\top}\overrightarrow {b} x = (A⊤A)−1A⊤ b. この記事では，主張1（最小二乗法の行列による定式化）について解説します。. 今回は、線形代数の立場から、 最小二乗法とは何か、最小二乗解の求め方、射影による理解 を紹介します。 目次 [ 非表示] 最小二乗法とは. 最小二乗法の原理：射影による理解. こちらもおすすめ. 最小二乗法とは. あるアサガオの成長記録から、成長を予測するモデルを考えたいとしましょう。 つるの長さを記録して、次のデータがあったとします。 （架空のデータです） およそ日数 x x と長さ y y は比例関係にあるように見えるので、 y=ax +b y = ax + b と直線で表せないか考えます。 図で表したような直線を求めたいのですが、求めるべき a,b a,b はどのようにして決めたら良いのでしょうか。
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適当にエイっと決めるのではなく、理に適った決め方をするために 「最小二乗法」 があります。 一次関数（直線）で近似する場合の公式の導出をしつつ、簡単な例題を使用して実際に計算してみましょう。 最小二乗法による一次関数近似の公式の導出. 簡単な例題. なぜ二乗にするのか. 正負. 重みづけ. 最小二乗法による一次関数近似の公式の導出. 近似するデータ群を（x i, y i ）（i＝1,2,3,…n）とします。 ①：一次関数なので、未知数はaとbの2つです。 ②：①式のxの値がx i のときyの値です。 ③：データ群と近似式のyの値の差です。 ④：③式の差分を二乗しています。 ⑤：差分の二乗の総和です。 この値を最小化するのが目的です。 ⑥,⑦：②式の関係を用いて⑤式内の項を書き換えます。. まずは、最小二乗法とは何かということを数式を使わずにざっくりと理解します。 その後、最小二乗法の式の導出を途中の計算式を省略せずに紹介します。 最後に、その式を使って例題を解いていき、実践で使えるようになりましょう。 この
